Pascal散布（也称为负二项散布）是一种离散概率散布，用于描绘在固定次数的失利之前产生特定次数成功的次数。这种散布一般用于模仿比如“在特定数量的失利之前到达特定数量的成功”的状况。

Pascal散布的概率质量函数（PMF）界说为：

$$ P = binom{k r 1}{k} p^k ^r $$

其间： $ X $ 是成功的次数。 $ k $ 是在 $ r $ 次失利之前产生的成功次数。 $ p $ 是每次实验成功的概率。 $ r $ 是失利的次数。

Pascal散布的希望值（均值）和方差分别为：

希望值 $ E = frac{rp}{1p} $ 方差 $ text{Var} = frac{rp}{^2} $

Pascal散布在稳妥、金融、生物核算等范畴有广泛使用。例如，它能够用来建模在特定数量的稳妥索赔产生之前，稳妥公司需求付出的成功次数。

Pascal散布：概率论中的经典散布

Pascal散布，又称为二项散布的负数方式，是概率论中的一个重要散布。它描绘了在一系列独立的伯努利实验中，成功次数小于等于某个特定值的概率。本文将具体介绍Pascal散布的界说、性质、使用以及核算方法。

Pascal散布是一种离散概率散布，其概率质量函数（PMF）为：

$$ P(X = k) = \\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$

其间，$X$ 表明成功次数，$k$ 表明小于等于成功的次数，$n$ 表明实验次数，$p$ 表明每次实验成功的概率。

Pascal散布具有以下性质：

非负性：$P(X = k) \\geq 0$，关于一切 $k$。

规范性：$\\sum_{k=0}^{n} P(X = k) = 1$。

可加性：$P(X \\leq k) = \\sum_{i=0}^{k} P(X = i)$。

对称性：$P(X = k) = P(X = n-k)$，当 $k \\leq \\frac{n}{2}$ 时。

生物医学：在临床实验中，Pascal散布能够用来估量药物的有效性。

质量操控：在产品查验中，Pascal散布能够用来评价产品的合格率。

金融工程：在金融市场中，Pascal散布能够用来剖析股票价格动摇。

通讯体系：在通讯体系中，Pascal散布能够用来评价信号传输的可靠性。

Pascal散布的核算方法主要有以下几种：

直接核算：依据Pascal散布的界说，直接核算概率质量函数。

递推公式：使用递推公式 $P(X = k) = P(X = k-1) \\cdot p$ 来核算概率。

查表法：使用Pascal散布表来查找概率值。

Pascal散布与二项散布有着亲近的联系。事实上，当 $n \\rightarrow \\infty$ 且 $p \\rightarrow 0$ 时，Pascal散布的极限散布为二项散布。具体来说，当 $n \\rightarrow \\infty$ 且 $p \\rightarrow 0$ 时，有：

$$ P(X = k) \\approx \\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \\approx \\binom{n}{k} \\left(\\frac{1}{n}\\right)^k \\left(1-\\frac{1}{n}\\right)^{n-k} $$

这表明，当实验次数足够大，且每次实验成功的概率很小时，Pascal散布与二项散布近似持平。

Pascal散布的希望和方差分别为：

希望：$E(X) = np$

方差：$Var(X) = np(1-p)$

其间，$n$ 表明实验次数，$p$ 表明每次实验成功的概率。

Pascal散布是概率论中的一个重要散布，它在许多范畴都有广泛的使用。经过本文的介绍，咱们了解了Pascal散布的界说、性质、使用以及核算方法。在实践使用中，咱们能够依据具体问题挑选适宜的核算方法，以便更好地剖析和处理实践问题。

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